polinomlar,polinom,polinomlar konu anlatımı,polinomlar konusu,polinom konu anlatımı,polinom konu anlatımı video,polinomlar konu anlatımı video,polinomlar soru çözümleri,polinom soruları,polinomlarla ilgili çözümlü sorular,polinomlarda bölme,polinomlarda bölme işlemi,polinomlarda çarpanlara ayırma,polinomlarda 4 işlem,polinomlarda ebob ekok,polinomlarda işlemler,polinomlarda toplama,polinomlarda çıkarma,polinomlarda dört işlem,matematik 2
Polinomlar Konu Anlatımı (Videolu)
Bu dersimizde polinomlar konusnu hem yazılı hem videolu anlatımla öğreneceğiz.Polinomlar konusunu iki farklı hocamızın anlatımıyla öğrenebilirsiniz. Videolarda ilk önce konu anlatımı daha sonra soru çözümleri vardır.
Polinomlar Videolu Konu Anlatımı
2. Video (Devamı)
Anlatan Hüseyin Demir hocamızdı.
Bir başka hocamız Ekol hocanın anlatımıyla da öğrenebilirsiniz.
2. Video (Devamı)
Polinomlar Konsununun Anlatımı
POLİNOMLAR NEDİR?
POLİNOM ÇEŞİTLERİ ?
Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar;
N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 +Î R ve n Îa0, a1, a2, ….an-1, an …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.
1.) an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2.)an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3.)P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4.)Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5.)P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6.) Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.
Örnek:
NÎP(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n kaç olmalıdır?
Çözümü:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.www.matematikcifatih.tr.gg
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da³ 0 den n ³n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM
P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.
Örnek
P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır ?
Çözümü:
2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.
Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
SIFIR POLİNOMU
P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.
Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
SABİT POLİNOM
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.¹a0
0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.
Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.
n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;
an =ÛA(x) = B(x) bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.
Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.
Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
5 = b – 1, a + 1 = -3, 0ÞA(x) = B(x) = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.
POLİNOM FONKSİYONLARI
R®P : R
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +®x a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.
R®P : R
P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.®x
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.
II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
h –2 = x’i yerineÞH = x + 2 yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.
Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.
Çözümü:
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.
POLINOMLARDA İŞLEMLER
Polinomlarda Toplama İşlemi
A(x) = a4×4 + a3×3 + a2×2 + a1x + a0
B(x) = b3×3 + b2×2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek
3 x + 4 polinomlarınınÖP(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + toplamı olan polinomu bulunuz.
Çözümü:
3-3)Ö3) x + 1 + = x3 + 5×2 + (ÖP(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + x + 5 dir.
Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.
1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.
İki Polinomun Farkı
P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.
Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve
B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.
Çözümü:
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.
Polinomlarda Çarpma İşlemi
A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))
Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.
Çözümü
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x
b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.
Kaynak: matematikcifatih.tr.gg
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.
Ü a0, a1x, a2x2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Ü a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.
Bunun için;
1. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
4. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır.
* P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
* P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n … (1)
P(c) = mc + n … (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.
3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
* P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)
P(x) = axn + bxm + d ise,
Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0
Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir.
P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,
P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan
K(x) = (x – a) k2 + k1 olur.
G. BASİT KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.
Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır.
Aynı işlemler B için de yapılır.
H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.
Buna göre,
1. der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
4. k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
5. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.
hocam çok güzel anlatmışsınız sağolun…ayrıca bu konu anlatımına berbat diyen arkadaşlara çok kızıyorum.yani hoca madem berbat anlatıyor ne işiniz var burda…hocamız bizim için emek vermiş.yapmayın böyle.
Hocam çk güzel anlatmışssınız ağzınıza sağlık
hocam yarın testim ağzınıza sağlık
özel ders alıyormus gibisne anlatınız
hocam gerçekten sınav öncesi çok ii oldu emeğinize sağlık çok teşekkürler…
hmm tşklr ellerinize sağlık güzel olmuş
ben videoları açamıyorum neden kii yaa
hiç güzel değil
biraz anladım